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现代控制理论基础-ch8最优估计与滤波

发布时间:2019-06-27 06:51 来源:未知 编辑:admin

  对系统的输入和输出进行量测而得到的数据只能反映系统的外部特性。 系统的动态规律需要用内部状态变量来描述(通常无法直接测量,多数是间接测量)。 估计是指从测量得出的与状态 有关的数据 中解算出 的方法或技术。其中,随机向量 为测量误差, 称为对 的估计, 称为对 基于时间段内的量测数据对状态 进行估计,则 最优估计和最优滤波是在某一指标函数达到极值时的估计和滤波结果。不同的优化指标导致不同的最优结果,在满足 某些特定条件的情况下,不同的最优结果之间可以是等价的。 预报平滑 tl滤波 ti2017-5-14 ((11))最优估计的基本概念 最优估计的基本概念 是一个未知参数向量,量测是一个 的一组容量为的样本集合,称统 计量 的一个估计量,其中称为估计准则。 利用样本对参数进行估计本质上是随机的。当样本值给定 时所得到的参数估计值一般与真值并不相同,因而需要用某 些准则进行评价。 1、最优估计理论2017-5-14 定义1对于式(1),所得估计量如果满足 是对参数的一个无偏估计;如果满足 是对参数的一个渐近无偏估计。 是任意随机变量,期望,方差为 的一组容量为的样本是 ,假定它们之间相互 独立且同分布(IID: Independent Identical Distributed);定 义两个统计量分别为 证明:因为所以, 的一个无偏估计;而所以, 的一个渐近无偏估计。利用 分别为信号和均值为0的随机噪声,信号s的一个可能估值是 判断该估值是否是无偏估计? 称为的后验概率密度函数,它是给定量测 条件下 的条件概率 密度函数。极大后验估计是以待估参量 的后验概率密度最 大作为估计准则,即 其中, 意为使得优化指标函数取得极值时的参数值。 ((22)) 极大后验估计 极大后验估计 MAPmax ((33))极大似然估计 极大似然估计 极大似然估计是以观测值出现的概率最大作为估计准则,即 与极大后验估计相比,极大似然估计有两个优点: (1)确定似然函数比确定后验概率密度函数容易些。 (2)被估计量是随机的,也可以是非随机的,适用范围比 极大后验估计要广。 但是,如果对待估计量有先验知识,则 精度不如 只有在不掌握待估计量任何先验知识时,二者具有相同的估计结果。 MLmax 是一个具有概率密度函数的正态分布得到的随机样本。求均值 和方差 的最大似然估计。 二者的函数,所以有2017-5-14 10 由于对似然函数直接求偏导较复杂,因此可以先对L求对数,然后再求偏导,即令 对待估参数分别求偏导,然后令偏导为零,得 整理得 2017-5-1411 可以证明:样本-均值 样本方差 说明:均值的最大似然估计是无偏的;而方差的 最大似然估计是有偏的,但是这个偏差可以通过 乘一常数 加以消除。 2017-5-1412 2017-5-1413 的估计是的函数。由于随机误差的存在,需要按统计意义 的最优标准求取。最小均方误差估计是使下述指标达 到最小的估计 argminargmin ((44)最小均方误差估计)最小均方误差估计 定理1 参数 的最小均方误差估计就是 的后验期望。 证明:最小均方误差估计性能指标 对上式求偏导 参数的最小均方误差估计为 2017-5-1414 2017-5-14 15 定理2 最小方差估计是 证明:最小方差估计为,其中求期望是对 进行的,因此 是关于 的函数。对 求期望实质上是 进行的,所以有应用贝叶斯定理,得 下面定理说明:当参数 和样本 是联合高斯分布的,最小 后验期望损失估计不必通过对条件概率的积分求取,只需知道 参数 和样本 的一、二阶矩。 2017-5-1416 定理3 维样本均服从高斯分布, ,其均值和协方差阵分别为其中 并假定 也是Gauss的,最小均方误差估计为 估计误差的协方差阵是 xxxz zxzz MVxz zz xxxz zz zx 2017-5-1417 ,若对参数的估计可表示为量测信 的线性函数则称为线性估计;进而如果估计误差的均方值达到最小 ),则称之为线性最小均方误差估计(LMMSE),也称线性最小方差估计。我们不加证明给出如下 定理,用以描述当参数 和量测信息 是任意分布时的线性最 小均方误差估计。 ((55))线性最小均方误差估计 线性最小均方误差估计 Bz2017-5-14 18 定理1 设参数 和量测信息 是任意分布, 的协方差阵 非奇异,则利用量测信息 对参数 的LMMSE估计唯一地表示 此处只是一个记号,不表示条件期望;而估计误差 的协方差阵是 xzzz xxxz zz zx 2017-5-1419 性质1 线性最小方差估计是 上的无偏估计证明:因为 上式两端对 求均值,可得 xzzz 2017-5-1420 性质2 线 线性最小方差估计具有线性性质,即若 的线性最小方差估计 的线性最小方差估计为其中, 为确定性矩阵, 为确定性向量。 证明:令 则有 从而 从而 -1Gz zz Gzxz -1Gz zz -1 xz zz Fx 2017-5-1421 性质3 线 互不相关,则证明:令 -1xh hh xhxy xz 2017-5-1422 由于 互不相关,所以从而 yyxy xz zz -1 -1 xy yy xz zz yyhh zz 2017-5-1423 ((66)) 加权最小二乘估计 加权最小二乘估计 最小二乘估计是C. Gauss在1795年为测定行星轨道而提出的参数估计算法。这种估计方法的特点是简单,且不必知道 与被估计量有关的任何统计信息。 假定量测信息 可以表示为参数 的线性函数,即 其中 且有为对称非负定 阵,则如下估计 称为加权最小二乘(Weighted Least Squares,WLS)估计; 如果W=I,则称为最小二乘(Least Squares,LS)估计。 NmNm argmin( argmin( Hx24 高斯(1777—1855): 德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学 家。他和牛顿、阿基米德被认为是有史以来的三大 数学家。 最小二乘法发表在1809年《天体运行论》中。但 实际上早在1794年高斯已经应用这种理论思想推算 了谷神星(位于火星和木星间)的轨道。 2017-5-14 25 在那个年代,当时的天文学界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已, 认为火星和木星间应该还有行星未被发现。在1801年,意大利的天文学家 Piazzi发现在火星和木星间有一颗新星。它被命名为谷神星,现在我们知道, 它是火星和木星的小行星带中的一个,但当时天文学界争论不休,有人说这是 行星,有人说是彗星。必须继续观察才能判决,但是 Piazzi只能观察到它9度 的轨道,再来,它便隐身到太阳后面去,因此,无法知道它的轨道,也无法判 别它是行星还是彗星。 高斯对这个问题产生兴趣,它决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题 ,高斯独创了只要三次观察,就可以来计算星球轨道的方法。它可以极其准确 的预测行星的位置。果然,谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方 法,就是最小二乘法。当时并没有公布。1802年,他又准确预测了小行星二号 ,智神星的位置,这时他声明远扬,荣誉滚滚而来。 (人口预测,电力系统负荷预测和需求响应预测) 2017-5-14 2017-5-14 26 定理1 可逆,则基于量测信息和加权矩阵 对参数 的WLS估计为 估计误差协方差矩阵为 最小二乘估计: 最小二乘估计误差协方差矩阵为: 其中, 为估计误差。 2017-5-1427 证明:因为 所以又因为估计误差 2HWHx 利用2017-5-14 28 所以有 需要指出的是,如果量测误差 是一个零均值的随机 向量,则有 此时,加权最小二乘估计也是无偏估计。 则加权最小二乘估计又称为马尔科夫估计,此时估计的协方差阵最小,可表示为 它是加权最小二乘估计中的最优者。 WHNm 根据对二维矢量的两次观测 2017-5-1429 其中 代入公式,得 说明:由观测方程知,观测结果是这样得到的,即 2017-5-1430 2017-5-14 31 次测量,测量值分别为 ,测量误差 为均值为0方差 2017-5-1432 用两台仪器对未知确定性标量各直接测量一次, 量测分别为 。求其最小二乘估计以及马尔科夫估计,并估计协方差阵。 解:由题意,得测量方程: 其中 若采用一般最小二乘估计, 2017-5-1433 上式说明,使用精度差一倍的两台仪器同时测量,最小二 乘估计效果不如单独采用一台仪器。 如果采用马尔科夫估计,取 可见,应用马尔科夫估计,可以获得较仅用一台精度高的仪器更好的效果。所以,增加不同的测量值,并根据其精 度区别利用,能有效提高估计精度。 2017-5-1434 Rudolf Emil Kalman (1930-) 卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach LinearFiltering PredictionProblems》 (线性滤波与预测问题的新方法) 2017-5-14 35 理论 1959年,NASA开始研究载人太空飞船登月方案—阿波罗计划,当时提出了两个主要问题: 液体燃料助推器大挠度条件下的自动驾驶问题。2017-5-14 36 Kalman滤波理论的提出 主要问题是解决对飞船运动状态的估计。当时,测量主要来自三个子系统: 飞船的惯性测量装置 天文观测仪 地面测轨系统(测轨数据经数据链传送至飞船) 那么导航制导问题的关键就是三个子系统的信息 融合与估计问题,当时,曾试图采用递推加权最小二 乘和维纳滤波的方法,均因为满足不了要求和过于复 杂的计算而被迫放弃。 2017-5-14 37 1960年秋,Kalman访问了NASA,同年提出卡尔曼滤波算法。立即引起重视并投入研究。尔后,由MIT负责研 制成功阿波罗计划中的导航系统,这也是Kalman理论 早期最著名的应用之一。在以后的几十年里,该理论 又被发展,应用领域也被广泛拓广。 卡尔曼滤波器:optimal recursive data processing algorithm (最优递推数据处理算法)” 对于解决很多实际问题,它是最优,效率最高甚至是最有用的。 理论 2017-5-14 38 应用领域 计算机图像处理–头脸识别 –图像分割 –图像边缘检测 –图像跟踪 2017-5-14 39 状态参数 估计值 系统误差 先验信息 滤波估式 测量误差 测量系统 生成观测 向量 动力学系统生 成状态向量 滤波过程可用框图表示为: Kalman滤波技术 动力学模型一般基于物理过程生成或基于以往的统计数据生成,一般含有过程误差。 测量系统(各类传感器)得到的观测信息,含有观测误差,相应的观测方差也不一定可靠; 2017-5-14 40 Application 视频跟踪2017-5-14 41 2017-5-14 42 对于如下离散时间状态空间模型 其中 时刻所有的量测信息是 是量测矩阵,而是量测噪声。 卡尔曼滤波卡尔曼滤波 结合离散信号模型,采用线性最小均方误差准则的离 散状态估计,就是离散卡尔曼滤波。 设目标以近似匀加速度a(加速度受到时变扰动)从原点开始作直线运动;现在以等时间间隔T对目标的 距离r进行直接测量,试建立运动目标的离散状态方程 和观测方程。 2017-5-14 43 (1)状态方程这是一个离散信号模型。根据目标的运动规律,并 考虑到加速度a受到时变扰动,可以分别写出关于目 标距离r、速度v和加速度a的方程分别如下: 2017-5-1444 其中,表示 时刻目标运动加速度受 到的扰动噪声,将上面的三个方程写成矩阵 形式,则有 2017-5-14 45 2017-5-14 46 k,k-1k-1 令s表示k时刻目标运动的三个状态变量 构成的三维状态矢量,Φ表示 一步状态转移矩阵,Γ 表示控制矩阵,则有 所以,目标运动的状态方程为 (2)观测方程下面建立目标运动的观测方程,虽然是直接 观测,但是因为已经用状态矢量s来表示各状态 变量,所以,在观测方程中只能用状态矢量s x就是k时刻的运动目标距离测量的数据,n是测距的观测噪声。 2017-5-14 47 2017-5-14 48 定理1 假定 也是一个独立过程;它们之间相互独立,而且二者还与初始状态 也独立,那么最小均方误差估计可通过如下Kalman递推滤波公式(5个公式)获得。 (1)初始条件 (2)一步提前预测值和预测误差的协方差阵分别是 2017-5-1449 其中 是一步预测误差。 时刻的Kalman增益阵为 状态Kalman滤波的特点 该方法是一种时域滤波方法,采用状态空间方法描述系统; 不仅可以处理平稳随机过程,也可以处理多维和非平稳随机过程。 2017-5-14 50 Temperature Problem RealWorld 假设当前室内温度仅跟上一时刻有关–但变化中可能有噪声 温度计观测(摄氏-〉华氏)–读数会有误差 根据观测值来推算实际温度变化2017-5-14 51 Formula KFxk 系统状态 实际温度 系统矩阵 温度变化转移 Zk 观测值 温度计读数 Hk 观测矩阵 摄氏度-〉华氏度 wk 过程噪声 温度变化偏差 vk 测量噪声 读数误差 2017-5-1452 简单实例 即过程的状态不随时间变化,没有控制输入;包含噪声的观测值是状态变量的直接体现。 2017-5-1453 简单实例 假设房间温度不变,k时刻为23度(估计值),该值的协方差假设为3度,过程噪声协方差为2度。 房间内有一温度计,其值显示25度,该值的偏差(量测噪声)为2度。 230.71*(25 23) 24.42 2017-5-1454 kalman滤波 时间更新和测量更新不断交替进行,就是Kalman最吸引人的递推特性。 测量更新(校正)()计算 增益 由观测变量 更新估计 更新测量误差 时间更新(预测)向前推算状态变量 向前推算误差协方差 为初始估计 2017-5-1455 2017-5-1457 基于更新信息定理推导卡尔曼滤波算法的递推公式: 首先计算一步状态预报误差与量测预报误差 由于k时刻的量测噪声 2017-5-1458 滤波误差协方差阵的推导:根据一步状态预报式,可推出一步状态预报协方差阵 2017-5-1459 状态估计误差 2017-5-1460 信息滤波器 所谓信息滤波器,就是在预报和更新两个环节上都递推地计算 协方差阵的逆阵。协方差阵的逆阵也被称作信息矩阵。 假定状态转移矩阵 可逆,所有协方差阵可逆,则协方差阵 和Kalman增益阵可按信息滤波器方法计算如下: 2017-5-1461 DA则有 (2)Kalman增益阵的计算因为 2017-5-1462 再次应用矩阵求逆引理,上式可以写成 (3)滤波信息矩阵的计算因为 2017-5-1463 所以

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