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区间分段优化最大似然估计算法 Maximum Likelihood Estimation A

发布时间:2019-07-04 02:50 来源:未知 编辑:admin

  区间分段优化最大似然估计算法 Maximum Likelihood Estimation Algorithm of Interval Section Optimizion.pdf

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  第29卷第1期 制 导 与 引 信 V01.29No.1 2008年3月 GUIDANCE&.FUZE Mar.2008 文章编号:1671—0576(2008)01一0055一06 区间分段优化最大似然估计算法 王欣媛,程磊, 魏巍 (中国航天科工集团三十五研究所,北京100013) 摘 要:叙述了最大似然估计算法的原理,介绍了利用交替投影法对最大似然估计算法 的具体实现过程。讨论了交替投影法的优点和局限性,提出了区间分段估计降低测角误差的 方法,结合仿真数据给出了统计结果。 关键词:最大似然;区间估计;测角误差 中图分类号:TN911.72 文献标识码:A MaximumLikelihoodEstimation of Algorithm IntervalSection Optimizion WANG CHENGWEIWei Xin—yuan, Lei, 35th Instituteof (The Research 100013,China) CASIC,Beijing Abstract:The ofthe ofmaximumlikelihoodestimation is descriptionprinciple algorithm introducestherealization of estimation maximumlikelihood given,then processing algorithm method.The andthelimitationofthe usingalternatingprojection advantage alternating methodisdiscussed.Setsforththemethodofintervalsectionestimation.The projection methodisusedtOdecreasethe measurement thestatistical angle error.At last,presents resultofsimulationdata. measurement words:maximumlikelihood;interval error Key estimation;angle 法,适合于有关参数估计问题。最大似然 0 引言 (Maximum 贝叶斯估计方法的一种特例,是在已知白噪声情 贝叶斯方法是基于统计理论的一种经典方 况下的贝叶斯最优估计。在ML算法中,观测所 得信号的似然函数被定义为含有未知参数的条件 收奠日期12007—11—16 概率密度函数,目的是选定未知的参数以使得该 作者筲介。王欣嫒(1975一),女。硕士,工程师;程磊(1981 似然函数尽可能大。通过最大化似然函数求出的 一),男,硕士,魏巍(1978一),男.硕士,工程师,均从事雷达信 号处理研究工作. 解,都被认为是未知参数的一个估计。 万方数据 制 导与 引 信 第29卷 最大似然估计是统计信号处理中一种有效的 (5) 估计,且它能对相干信号进行测向,所以主要利用 m。in{㈦-]㈣i)一A(弧训2} ML算法来对多相干信号测向。但实现这种估计 上式可理解为非线性最小均方误差准则的估 的算法需要较大的运算量,因为它是一种多变量 计问题。 非线性最优的求解算法。 固定0对s进行估计,它也是个均方误差估 计,其估计值为 为降低运算量,引出交替投影(Alternating projection,简称AP)法,AP法是一种迭代技术。 但是,最大似然法用AP处理时,有局部最优的困 将式(6)代入式(5),可得 Ⅳ 扰缺点,从而提出~种区间分段估计的方法来优 哪“∑I删)一A(钐[AH(∞A(∞].1× 化最大似然估计算法,最后通过仿线]。 AH(口)x(i)02}= 1最大似然估计算法 x(i)一PA(o)x(i)ff 畸n{∑fI 2)一 X(£)的N个独立样本的联合概率密度为 m州∑IlP圳,删)㈣ (7) 式中:PA(。,为A(口)的列向量所展成的空间的投影 厂(x(1),…,x‘N))=Ii:I。了丢i磊1i丽 算子: (1’ x“)一A(印“i)I2) exp(一壶J (8) 式中:det[-]为行列式;0II为欧氏范数;《为高 所以对0估计的最大似然估计就是使似然函 斯白噪声的方差;f为单位阵;A(曰)为信号的人射数L(口)最大,可表示为 角与接收阵元位置的函数;S(i)为X的协方差矩 PA(O)x(训2= L(口)=∑0 阵。根据对函数取对数后单调不变性,对密度函 数取对数以简化目标函数: ∑[P圳)x(i)]HP圳,x(i)= 2 x(i)一A(目)s(i)Il L一一NMlna?一击∑o (9) ∑x(i)HP‰P圳,x(i) (2) 根据投影矩阵的幂等性,可得 式中:L为对密度函数取对数后得出的变量,N, ~ M为常量。 (10) L(日)=∑xH(i)PA(。)x(i) i一1 为了计算最大似然估计,必须对未知参数求 利用内积和外积之间的转换关系,可得 对数似然函数的极值。先对砰进行估计,可得噪 声方差的估计为 (11) 2(3) 舌?=志圣㈣沪A(口Ⅲi)o 式中:R为协方差矩阵R的极大似然估计: 把子?代人式(2)中,忽略常数项,对0和s的 , N 最大似然估计是解极大值问题: 拈南蚤x(DXH“)(12) 2)} 对R进行特征分解,可表示为 m“ax{一NMln(南耋悄∽一删Ⅲ圳J (4) R=∑天.;i占r (13) 由于对数函数的单调性,式(4)极大值问题可 利用投影算子和迹的特性,式(10)可重写为 等效为式(5)极小值,即 (去掉常数项N) 万方数据 第1期 王欣媛,等:区间分段优化最大似然估计算法 依次类推,第i次迭代解出a}0),此过程直到 2 0 P圳)占iII (14) max≥:Ai o酉 解出踏’结束。然后运用式(15),直到满足先前 从表达式可知,ML估计器和MUSIC估计 的假定误差值[4]。 器不同之处在于前者包括对R的所有特征值和 为了更清楚地理解此问题,先举一简单例子 特征向量加权,特征值越大,其所对应的特征向量 说明,设K=2,先求起始曰?,令只有一个源0x,则 投影到信号子空间的值就越大[2]。 口:为 由上面对ML原理的叙述可知,ML是一个 0:=arg (19) maxtr[PA(ei,R] 非线性、多维的极值问题,计算量非常巨大。因 气 此,在实际的操作中往往将其降维处理,将这个多 而后求眨¨,设第一个源位于0:,则有 维估计问题转化为一系列的一维优化问题。虽然 ∥=arg (20) m.axtr[P[枷h。‘如)]R] % 有一些最优化算法,但是现在用的最多的是交替 接着依次可求的谚(保持0o不变),研, 投影法。 岛”,…,研2P’,呸却+1’,直到研2”=研印+2’,谚2卅一 磋2””为止,其迭代图如图1所示。 2交替投影法 交替投影(AP)算法是一种基于交替优化的 方法和投影矩阵分解的方法。交替优化是多维优 化问题的一种简单的求解方法。该方法是通过迭 代实现的,在每一次迭代中变动一个参数值,其他 的参数固定,用迭代的方法求的一个参数的极大 值,即第忌+1次迭代的值只是解下式一维最优 问题; 图1 两信号交替投影的收敛过程 研蚪=arg m。axtrFP[^(口:譬).“I)]R](15) 从上式可知,虽然进行了降维处理,但是计算 式中:argmaxf(Oi)为当厂(Oi)取最大值时的鼠 量仍然较大,为了进一步减小计算量,则利用投影 巳 矩阵的基本性质,对矩阵进行分离,进一步简化运 值;联分是由先前计算得到的(D一1)×1维向量, 算量。基本思想:设矩阵A可分毹成B,C两任意 可表示为 矩阵,即A=[BC],则 口{譬一[口i耵,…,口{2。,,口{擘。,,…,口:笛](16) 由上式的迭代过程可知,由于其每次的迭代 都是得到最大值,所以L(口)是个非减函数,但其 矩阵时的剩余项,因此有 往往会收敛到局部极大,而看是否能达到全局最 (22) P[^(a加“伽=P^(a跏+P。(q)^(a跏 大,初值的选择非常关键。因此,算法的关键是初 可知上式的第一项与估计值B无关,所以可 值的选择,现在认为初值选择按照以下的方法能 将式(15)简化为 得到相当满意的结果,但是全局最优也是无法保 研“”=arg (23) r。!P浙[P。(q)A(a:譬,R] 证的[引。 根据迹和投影矩阵的一些性质,可将式(23) (17) maxtr[P舢)R] 口i∞=arg 改写为 吒 max (24) 下一步假定研知道,则下一个源的估计为 bH(Oi,酿分)Rb(01,a{:3)) 吒 ∥=arg (18) 其中: maxt,[PE。o;o)).口(纠R] 万方数据 58 制 导 与 引 信 第29卷 范围,采用滑窗法,根据具体试验条件确定滑动窗 硼础)=尚 宽度及步长,得出方位角及仰角的四个搜索区间。 式中:b(Oi,穰譬)是个归一化向量。 在四个搜索区间分别运用交替投影法对波达 以上就是利用AP法对ML算法的具体实现方向角进行估计,每次估计四个区间分别给出其 过程[引。 估值。多次估计的角度值方差相比较,方差小的 AP算法的优点在于交替优化与巧妙的投影 那个区间的角度估值最接近真实值。 矩阵分解方法相结合,从而将多维搜索简化为一 下面给出运用交替投影法与区间分段交替投 维搜索,大大降低了计算量。但是,最大似然法用 影法,在相同试验条件下得出的测角误差的仿真 AP处理时有局部最优的困扰缺点。下面提出一 结果分析。 种区间分段估计的交替投影法来优化最大似然估 仿线阵元圆阵,两信源,快拍数 计算法。 为100,信噪比均为10dB,分别做60次蒙特卡洛 试验。 3 区间分段估计交替投影法及仿线分别为运用交替投影法得出的信 源1及信源2的方位角度误差值和仰角误差值。 区间分段估计交替投影法,即将交替投影法 的搜索区间划分为四个互有交叠的区间,然后四 个区间并行进行交替投影法,最后从四区间选出 测得的角度方差最小的区间给出的角度值作为估 计的结果。 一般,考察一组观察值z。,z:,…,z。时,其均 值为 ^ . 孑一』yz; (25) ,z= 均值表示这组数据中心,zl—z,z:一j,…, z。一王为这组数据对于平均值的偏离,可用方差 蒙特卡洛试验次致 表示为 图2信源1的方位角误差值 ^ . 矿:上y(zf一薯)2 (26) 咒蒿 方差描述了随机变量对于其数学期望的离散 程度,在概率论和数理统计中十分重要‘“引。 当四个区间均测出相应的角度值后,这些测 得的角度值相当于四组观测值,每组观测值相当 于一组随机变量。由式(26)得出每组随机变量的 方差,方差越小,说明偏离数据中心的距离越小。 假设参数有若干个估计,评价这些估计的优 劣,有一项基本的评价准则是无偏性m81。因此, 选择四个区间中测得的角度方差最小的区间给出 蒙特卡洛试验次数 的角度值作为估计的结果是有其理论依据的。 图3信源1的仰角误差值 划分区间的方法:先求出交替投影法的搜索 万方数据 第1期 王欣媛,等:区间分段优化最大似然估计算法 59 得出的信源1及信源2的方位角度误差值和仰角 误差值。 蒙特卡洛试验次数 图4信源2的方位角误差值 囊特卡洛试验次教 图7信源1的仰角误差值 p ¥ jIlj 嗤 f 趟 ∑ 娥 捌 噻 越 援 蒙特卡洛试验次数 图5信源2的仰角误差值 藏特卡洛试验次数 图8信源2的方位角误差值 从图2~图5可以看出:角度误差值较大,范 围在一5。~+5。之间。 图6~图9分别为运用区间分段交替投影法 蒙特卡洛试验次数 图9信源2的仰角误差值 蒙特卡洛试验次数 从图6~图9可以看出:运用区间分段交替 投影法得出的角度误差值比运用交替投影法得出 图6信源1的方位角误差值 的角度值要小50%,范围在一3。~+2。之间。 万方数据 制 导与 引 信 第29卷 [3]StociaP,NehoraiA.MUSIC,MaximumLikelihood andCramer-Rao 4 结束语 Bound[J].IEEETransASSP, 1989,37(5):720-741. I!J] 龚鹏,栗苹,季成.基于交替投影迭代算法的最大似 运用区间分段交替投影法测角在一定程度上 然方位估计[J].探测与控制学报,2003,12(4):47— 优化了最大似然估计用交替投影法测角时的局部 50. 极值的困扰,而且四个区间并行处理也提高了实 口] 顾建峰.反辐射导引头抗多点源干扰研究报告[R]. 时性。 北京:电子科技大学,2002. 参考文献 西 ] 《数学手册》编写组.数学手册[M].北京:高等教育 出版社,2006.809—816. [13王永良,陈辉,彭应宁,等.空间谱估计理论与算法 口] 李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社, [M].北京:清华大学出版社,2004.146—160. 2002.184—187. [2]司锡才,赵建民.宽频带反辐射导弹导引头技术基 ∞] 潘士先.谱估计和自适应滤波[M].北京:北京航空 础[M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,1996.225— 航天大学出版社.1991.60—66. 256. (上接第46页) Y 图5控制流程图 理。实验结果表明,本文分析的辅助捕捉方法在 修改、测试,很大程度上缩减了设计时间,提高了 锁相接收机中,能较好的实现脉冲雷达信号的锁 设计及测试效率,在锁相接收机、锁相环系统设计 相接收。在第一个脉冲信号到来时,环路辅助捕 以及测试过程中具有重大意义。 捉加锁定时间大约在(1~2)ms左右。从第二个 参考文献 脉冲开始,环路不需要重新开始搜索,锁定时间大 约为(50~70)las,实现了快速锁定。 [1]高烽.多普勒雷达导引头信号处理技术[M].北 京:国防工业出版社,2001.142—146. Performance,Simulation,and [2]Dean.PLL Design, 4 结束语 Fourth SourceIne,2006. Edition[M].Lightning Phase-locked- [3]FloydM.Gardner.Charge-pump 本文对锁相接收从原理到实现进行了理论分 TansActionon loops[J].IEEE Communications, 析,并提出了在脉冲雷达体制下,实现快速搜索、 1980,28:1849—1858. 辅助捕捉的改进方法。由于采用了FPGA等可[4]王福昌,鲁昆生.锁相技术[M].武汉:华中理工大 编程器件,相对不同的应用场合,能够方便的进行 学出版社,1997. 万方数据

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