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极大值原理的最优控制的类型

发布时间:2019-07-31 10:04 来源:未知 编辑:admin

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  在一般情况下,由极大值原理定出的最优控制是时间变量t的函数u*(t),称为程序控制或开环控制。程序控制的主要缺点,是不能消除或抑制由于参数的变动和环境的变化对系统造成的扰动。最优控制的另一类形式是表示为状态变量x*(t)的函数u*(x*),实质上是一种状态反馈,称为综合控制或闭环控制,其优点是对抑制扰动有利。原则上极大值原理能够用来确定综合控制形式的最优控制,但除了一些典型的最优控制问题外,对于一般的情况决定综合控制往往相当困难。在工程领域中,最为常见的一种综合控制形式是所谓的砰-砰控制。在这类控制形式中,根据系统的运动状况,最优控制u*的各个控制变量在整个过程中分段地取为容许控制范围的正最大值或负最大值。砰-砰控制的原理是把最优控制问题归结为:将状态空间划分为两个区域,一个区域对应于控制变量取正最大值,另一个区域对应于控制变量取负最大值。这两个区域的分界面称为开关面,而决定砰-砰控制的具体形式的关键就是决定开关面。砰-砰控制形式的最优控制常用于最速控制系统和最省燃料控制系统。在正常情况下,砰-砰控制的控制变量由正最大值跃变到负最大值的次数是有限的,只有在跃变瞬时控制变量可取值于限制范围的任何值。但对于某些问题,砰-砰控制中至少存在一个时间区间,其中控制变量可取为限制范围的任意值,这类问题称为奇异最优控制问题。对于奇异最优控制问题,仅由极大值原理的条件还不足以确定奇异时间区间内的最优控制u*与最优轨线x*间的关系即综合控制的形式。

  LQ 问题 线性二次型性能指标的最优控制问题。在LQ问题中,受控系统为线性系统,运动方程具有形式夶=A(t)x+B(t)u;性能指标是状态x和控制u的一个二次型函数的积分,可表示为(式9)其中加权阵S和Q为半正定对称阵,R为正定对称阵;控制u的各个控制变量的取值范围不受限制。根据极大值原理很容易定出LQ问题的最优控制(式10)它是一种线性状态反馈形式的综合控制。其中R^-1表示矩阵R的逆,B^T(t)表示矩阵B(t)的转置,而P(t)为正定对称矩阵,是如下的矩阵黎卡提微分方程(式11)的解:在工程领域中,很多情况下受控系统是定常系统,即其运动方程为夶=Ax+Bu,且取初时刻t0=0,而末时刻tf=∞,性能指标泛函为(式12)这时只要矩阵对(A,B)为能控(见能控性),矩阵对(A,C)为能观测(见能观测性),其中C为由分解Q=CC^T导出的矩阵,那么最优控制u*=-Kx*具有状态x*的线性定常反馈的形式,反馈矩阵K=R^-1B^TP,P为如下的矩阵黎卡提代数方程(式13)的解这类控制问题的优点是反馈矩阵K为常数,可由计算机事先通过计算定出,不必在控制系统中引入计算机进行实时控制。LQ问题在工程上常称为线性调节器问题。

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